第七章 ：笔来！（二更求追读）(2/3)
的游戏，这个室友的水平已经远不如他了。书桌前，韩川没理会桑凯，思索了一会后，他忽然想到了什么，快速地开口道。
“逼来！”
桑凯愣了一下，下意识地递上了笔。
握着笔，韩川拉过稿纸，画了一条凹函数的草图。
【令x?∈(0，1)为任意一点。因为f″(x)≤0，所以f′(x)在[0，1]上单调递减。由拉格朗日中值定理，在(0，x?)上存在ξ?，使得f(x?)?f(0)=f′(ξ?)(x??0)，即f(x?)=f′(ξ?)x?。】
【在(x?，1)上存在ξ?，使得f(1)?f(x?)=f′(ξ?)(1?x?)，即?f(x?)=f′(ξ?)(1?x?)。所以f(x?)=?f′(ξ?)(1?x?)。】
【因为f′单调递减，而ξ?<x?<ξ?，所以f′(ξ?)≥f′(x?)≥f′(ξ?)。】
【若f(x?)<0，则f′(ξ?)<0且f′(ξ?)>0。由f′的单调递减性，f′(ξ?)≥f′(ξ?)，即f′(ξ?)?f′(ξ?)≥0。但f′(ξ?)<0，f′(ξ?)>0，故f′(ξ?)?f′(ξ?)<0。矛盾。】
【因此假设不成立。故f(x?)≥0！】
“搞定了！”
写完最后一个符号，韩川把笔往桌上一放，将稿纸递给了桑凯。
“搞...搞定？”
桑凯瞪大了双眼，惊诧的下巴都快掉地上了。
他原以为对方会卡在这道竞赛难题上，结果万万没想到不过片刻思索，韩川就完整写出了全部证明过程。
“嗯。”
韩川笑着点点头，道：“这道题确实有点难度，不过用中值定理结合单调性还是比较容易解开的。”
闻言，桑凯嘴角抽了抽。
他拿起那两张写满推导过程的稿纸，从头到尾看了一遍，然后又看了一遍，皱着眉头问道
“这一步反证法的矛盾构造，你是怎么推导出来的？”
韩川凑过来，看了眼稿纸，开口道：“普通反证法是直接假设结论不成立，也就是假设存在某个点x?让f(x?)<0，然后硬推矛盾。”
“但光有这个假设不够，因为f(x?)<0本身推不出太多东西。”
说着，他用笔在稿纸上点了点。
“所以不要盯着f(x?)<0死磕，而是先用拉格朗日中值定理把f(x?)表达成两个不同的形式。一个用左边的端点0，一个用右边的端点1，这样就可以得到两个等式，f′(ξ?)和f′(ξ?)。”
桑凯盯着那两个等式看了几秒，瞳孔微微放大：“所以f′(ξ?)必须是负的。因为x?>0，f′(ξ?)x?要等于一个负数，那f′(ξ?)只能是负的？”
“缤购！”
韩川打了个响指，笑道：“对！由此同理，?f′(ξ?)(1?x?)要等于一个负数，而(1?x?)>0，所以?f′(ξ?)必须是负的，也就是f′(ξ?)必须是正的。”
听完韩川的讲解，桑凯盯着手中稿纸上的算式慢慢吐出一口气。